Định lý Ptoleme là gì? Cách chứng minh định lý Ptoleme chi tiết nhất 2023

Định lý Ptoleme là gì?

220px Ptolemy Theorem.svg

Định lý Ptôlêmê về mối liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tứ giác nội tiếp.

Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu ABC, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

THUẬN:NẾU MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN THÌ TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO BẰNG TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN
ĐẢO:NẾU MỘT TỨ GIÁC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN BẰNG TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO THÌ TỨ GIÁC ĐÓ NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

THUẬN:NẾU MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN THÌ TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO BẰNG TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN
ĐẢO:NẾU MỘT TỨ GIÁC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN BẰNG TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO THÌ TỨ GIÁC ĐÓ NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

Chứng minh Định lý Ptoleme

  1. Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
  2. Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
  3. Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
    1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
  4. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
  5. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
    1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
    2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
    3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
    4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme

Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

��¯⋅��¯+��¯⋅��¯≥��¯⋅��¯

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemye.

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm  sao cho △��� đồng dạng với △���. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

����=����

Suy ra

��.��=��.��(1)

Mặt khác, △��� và △��� cũng đồng dạng do có

����=���� VÀ ���^=���^

Từ đó

����=����

Suy ra

��.��=��.��(2)

Cộng (1) và (2) ta suy ra

��⋅��+��⋅��=��⋅(��+��)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra ��⋅��+��⋅��≥��⋅��

Nguồn: định lý ptolemy

Related Posts

Các cách Chuyển Tiền Đi Trung Quốc An toàn hiện nay

hiện nay nhu cầu chuyển tiền sang Trung Quốc để thanh toán giá bán tậu hàng, phí chuyển vận hàng hóa hay chuyển tiền cho người nhà,…

Những Cách Chuyển Tiền Từ Việt Nam Đi Mỹ Có uy tín hiện nay

Nhu cầu định cư Mỹ vẫn đang rất phổ biến hiện tại, việc chuyển tiền sang Mỹ là nhu cầu đang được phổ thông nhà đầu cơ quan tâm….

Phương pháp chuyển tiền đi tây ban nha Tốt nhất hiện nay 2023 | Chuyentienuytin.vn

với ko ít người mang nhu cầu chuyển tiền trong khoảng Việt Nam sang Tây Ban Nha cho con du học, trả tiền đối tác kinh doanh, định cư,……

Cách Chuyển Tiền Sang Canada Bằng Cách Nào | Chuyentienuytin.vn

Bạn đã biết bí quyết chuyển tiền từ Việt nam sang Canada chưa? Đối sở hữu những người nào mang người thân bên Canada thì đây là…

Chuyển Tiền Đi Singapore Theo Phương Pháp Nào | Chuyentienuytin.vn

với phần nhiều quý khách có nhu cầu chuyển tiền từ Việt Nam sang Singapore do sở hữu con em đang học tập và lao động tại…

Hướng dẫn chi tiết Chuyển Tiền Đi Philippines | Chuyentienuytin.vn

bây giờ đang với tất cả muốn chuyển tiền sang Philipines sở hữu những mục đích khác nhau. thí dụ như để cho con chiếc học tập,…